Existencia, unicidad y regularidad Hölder de soluciones de la ecuación de Hamilton-Jacobi con derivada temporal de tipo Caputo
"Estamos interesados en el estudio del siguiente problema de Cauchy:
Dαu(t,x)+H(t,x,u(t,x),Du(t,x))=0, (t,x) ∈ Q≔(0,+∞)×T N
D𝛼ut,x+Ht,x,ut,x,Dut,x=0, t,x ∈ Q≔0,+∞×T N
sujeto a la condición inicial
u(0, x)=u0(x), ∀ x ∈ T N
u0, x=u0x, ∀ x ∈ T N
donde
u0 ∈ Lip(T N)
u0 ∈ LipT N
y
H ∈ C(T N×R×R N)
H ∈ CT N×R×R N
son funciones dadas. Además
T N
T N
denota el toro N−dimensional,
Lip(T N)
LipT N
denota el conjunto de las funciones Lipschitz continuas sobre
T N
T N
,
u
u
es la función incógnita,
Du
Du
es el gradiente espacial de
u
u
, i.e.,
Du=(Dx1, Dx2, … , Dxn)
Du=Dx1, Dx2, … , Dxn
y
Dα
D𝛼
denota la derivada fraccionara de Caputo de orden
α ∈ (0,1)
𝛼 ∈ 0,1
. Se definen los conceptos de solución viscosa y solución viscosa discontinua para este tipo de problemas. Mostraremos existencia de soluciones viscosas discontinuas usando el Método de Perron. Probaremos el Principio de Comparación, que junto al Método de Perron permite demostrar la existencia y unicidad de una solución viscosa para el problema. Finalmente analizamos la regularidad de la solución tanto en tiempo como en espacio. Como conclusión hemos obtenido que no se tiene resultados de regularidad Hölder ni en tiempo ni en espacio, al menos no siguiendo técnicas estudiadas por el segundo autor. "